论文解读----A SURVEY ON MULTIOBJECTIVE DESCENT METHODS

针对文章中的Section 4中带约束的优化问题进行解读.

问题

$$\min F(x),$$

$$s.t. \quad x\in C$$

的pareto efficient的必要条件是(J表示Jacobian Matrix):

$$JF(\bar{x})(\mathbb{R}^n) \cap [-\mathbb{R}_{++}^m] = \emptyset$$

where

$$JF(\bar{x})(\mathbb{R}^n) := \{JF(\bar{x})v, v\in \mathbb{R}^n \}$$

那么，对于scalar-valued optimization其必要条件为:

$$<\nabla F(\bar{x}), x - \bar{x}> \geq 0$$

定义带有$L_2$正则项的梯度搜索方向为(得到的结果为下一个x的point位置,与当前x相减组成的向量方向):

$$v(x):= \argmin_{v\in C-x} (\beta \varphi_x(v) + \frac{1}{2} \lVert v \rVert^2)$$

$v(x)$是强凸且well defined, 定义最优的value:

$$\theta(x):= \min_{v\in C -x}(\beta \varphi_x(v) + \frac{1}{2} \lVert v \rVert ^2) = (\beta \varphi_x(v(x)) + \frac{1}{2} \lVert v(x) \rVert ^2)$$

Proposition 4.1.
$x$ is stationary if and only if $\theta(x)=0$
proof: